2024年初一數學下冊：二元一次方程組8種典型例題詳解

一、和差倍數問題

知識梳理：

和差問題是已知兩個數的和或這兩個數的差，以及這兩個數之間的倍數關系，求這兩個數各是多少。

典型例題：

甲、乙兩人分別以不變的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘比乙多打10個字。問甲、乙兩人每分鐘各打多少個?

解：設甲每分鐘打x個字，乙每分鐘打y個字。根據題意可列方程組為

2(x+y)=240①

x-y=10②

由①得x+y=120 ③，

②+③ 得2x=130，

解得x=65，將x=65代入②

得：y=55。

答：甲每分鐘打65個字，乙每分鐘打55個字。

思路點撥：

由甲乙兩人2分鐘共打了240個字可以得到第一個等量關系式2(x+y)=240，再由甲每分鐘比乙多打10個字可以得到第二個等量關系式x-y=10，組成方程組求解即可。

二、產品配套問題

典型例題：

某車間有22名工人生產螺釘和螺母，每人每天平均生產螺釘1200個，螺母2000個，一個螺釘要配兩個螺母，為了使每天生產的產品正好配套，應該分配多少名工人生產螺釘，多少名工人生產螺母?

解：設分配x名工人生產螺釘，y名工人生產螺母。由題意可

列方程組為

x+y=22①

2x1200x=2000y②

由②得6x=5y③，

由① 得x=22-y，

代入③得6(22-y)=5y，

整理得11y=132，解得y=12，則x=22-12=10。

答：應該分配10名工人生產螺釘，12名工人生產螺母。

思路點撥：

本題的第一個等量關系比較容易得出：生產螺釘和螺母的工人共有22名;第二個等量關系的得出要弄清螺釘與螺母是如何配套的，即螺母的數量是螺釘的數量的2倍(注意：別把2倍的關系寫反)。

三、工作量問題

知識梳理：

我們在解決工程問題時通常把工作總量看成1;

工作量=工作效率×工作時間;

總工作量=每個個體工作量之和;

工作效率=工作量÷工作時間(即單位時間的工作量);

工作效率=1÷完成工作的總時間。

典型例題：

現要整理一批文件，由1個人完成需要40個小時，計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起再做8小時，完成這項任務，假設這些人的工作效率都相同，則應先安排多少人工作?

解：設總工作量為1，應先安排x人工作。則每個人的工作效率為1/40，由題意可列方程為

4x·1/40+8(x+2)·1/40=1，

整理得3x/10=3/5，

解得x=2。

答：應先安排2人工作。

思路點撥：

首先將工作總量設成1，可以得到每人的工作效率，再根據x人先做4小時可以完成4x·1/40工作量，增加2人后，(x+2)人工作8小時完成8(x+2)1/40工作量，總量為1可以列出方程，解方程求解即可。

四、利潤問題

知識梳理：

商品利潤=商品售價-商品進價;

利潤率=利潤÷進價×100%。

典型例題：

商店新進一批商品準備出售，若打8折出售，則10天可以售完，并能獲利10000元;若打75折出售8天可以售完，可獲利8000元，商品存放一天需要100元的存貨費，求這批商品的本錢(購貨價)和預售總價各是多少?

解：設這批商品的本錢是x元，預售總價是y元。由題意可列方程組為

0.8y-x-10·100=1000

0.75y-x-8·100=8000整理得

0.8y-x=11000①

0.75y-x=8800②

得①-②0.05y=2200，解得

y=44000，則x=08·44000-11000=24200。

答：這批商品的本錢是24200元，預售總價是44000元。

思路點撥：

本題有兩個未知數，即商品本錢和預售總價，也有兩個明顯的等量關系，即兩種打折出售的獲利情況，根據售價-成本-存貨費用=利潤，可以列出方程組求解即可。

五、行程問題

路程=速度×時間;

相遇問題：

快行距+慢行距=原距;

追及問題：

快行距-慢行距=原距;

航行問題：

順水/風速度=靜水/風速度+水流/風速度;

逆水/風速度=靜水/風速度-水流/風速度;

典型例題：

A B兩地相距480千米，一列慢車從A地開出，一列快車從B地開出。

(1)如果兩車同時開出相向而行，那么3小時后相遇;如果兩車同時開出同向(沿BA方向)而行，那么快車12小時可追上慢車，求快車與慢車的速度;

(2)如果慢車先開出1小時，兩車相向而行，那么快車開出幾小時可與慢車相遇?

解：(1)設快車的速度為x千米每小時，慢車的速度為y千米每小時。由題意可列方程組為

3(x+y)=480①

12(x-y)=480②

①x4得12(x+y)=1920③，

②+③得24x=2400，解得x=100，則 y=60。

答：快車的速度為100千米每小時，慢車的速度為60千米每小時。

(2)慢車開出1小時后兩車相距480-60=420千米，

所以快車開出21小時可與慢車相遇。

思路點撥：

這兩個問題均可以利用路程、速度和時間之間的關系列方程(組)求解，要明確快車與慢車的路程與A、B兩地的距離之間的關系，相向而行兩車相遇時：快車路程+慢車路程=A、B兩地距離;同向而行兩車相遇時：快車路程-慢車路程=A、B兩地距離。

六、存貸款問題

知識梳理：

利息=本金×利率×期數;

本息和(本利和)=本金+利息。

典型例題：

蔬菜種植專業戶徐先生要辦一個小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請了甲，乙兩種貸款，共13萬元，王先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為

3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少萬元?

解：設甲種貸款x元，乙種貸款y萬元。由題意可列方程組為

x+y=13①

0.06x+0.035v=0.6075②

由①得x=13-y，代入②得

0.06(13-)+0.035=06075，

整理得0025-0.1725，解得 y-6.9，則x=6.1。

答：甲種貸款是61萬元，乙種貸款是69萬元。

思路點撥：

本題的等量關系：

甲種貸款+乙種貸款=13萬元;

甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息=6075元。

七、數字問題

知識梳理：

已知各數位上的數字，寫出兩位數，三位數等這類問題一般設間接未知數，例如：若一個兩位數的個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數可以表示為10b+a。

典型例題：

已知各數位上的數字，寫出兩位數，三位數等這類問題一般設間接未知數，例如：若一個兩位數的個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數可以表示為10b+a。

有一個兩位數，個位上的數比十位上的數大5，如果把這兩個數的位置對換，那么所得的新數與原數的和是143，求這個兩位數。

解：設兩位數個位上是x，十位上是y。由題意可列方程組為

x-y=5①

(10y+x)+(10x+y)=143②

由②得x+y=13③，

①+③得2x=18，解得x=9，則y=4。

答：這個兩位數是49。

思路點撥：

本題中的等量關系：

①個位上的數-十位上的數=5;

②原數+新數=143。

八、方案問題

知識梳理：

在解決實際問題時，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。

要點詮釋：

方案選擇的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。

典型例題：

已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10t;用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11t。某物流公司現有31t貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物。根據以上信息，解答下列問題。

(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸;

(2)請你幫該物流公司設計租車方案;

(3)若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次。出最省錢的租車方案，并求出最少租車費。

解：(1)設1輛A型車裝滿貨物可運貨x噸，1輛B型車裝滿貨物可運貨y噸。由題意可列方程為

2x+y=10①

x+2y=11②

由①得y=10-2x③，

將③代入②得，x+2(10-2x)=11，

整理得3x=9，解得x=3，則y=4。

答：1輛A型車裝滿貨物一次可運貨3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運貨4噸。

(2)根據題意可列方程為3a+4b=31，因為ab均為正整數所以ab的取值可分別為17或54或91。

答：該物流公司有三種租車方案。

方案一：租用A型車1輛 B型車7輛;

方案二：A型車5輛，B型車4輛;方案三：A型車9輛，B型車1輛。

思路點撥：

(1)本小問兩個等量關系均可利用貨物的總噸數等于兩種車型所運貨物噸數之和，每種車型所運貨物的噸數等于該種車的數量乘以每輛車裝滿貨物時可運輸的貨物噸數，列出方程即可。

(2)根據貨物的總噸數等于兩種車型所運貨物噸數之和列出方程，求解即可。

(3)總費用等于A型車的總費用加上B型車的總費用，比較三種方案的費用得出最省錢的租車方案。

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