01
三角形中常見輔助線的添加
1. 與角平分線有關的
（1） 可向兩邊作垂線。
（2）可作平行線，構造等腰三角形
�。�3）在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形
2. 與線段長度相關的
�。�1）截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可
�。�2）補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可
�。�3）倍長中線：題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結，便可得到全等三角形。
（4）遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。
3. 與等腰等邊三角形相關的
�。�1）考慮三線合一
�。�2）旋轉一定的度數，構造全都三角形，等腰一般旋轉頂角的度數，等邊旋轉60 °
02
四邊形中常見輔助線的添加
特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解決一些和四邊形有關的問題時往往需要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。
1. 和平行四邊形有關的輔助線作法
平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形。
（1） 利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形
�。�2）利用兩組對邊平行構造平行四邊形
�。�3）利用對角線互相平分構造平行四邊形
2. 與矩形有輔助線作法
�。�1）計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題。
�。�2）證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題。和矩形有關的試題的輔助線的作法較少。
3. 和菱形有關的輔助線的作法
和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題。
�。�1）作菱形的高
（2）連結菱形的對角線
4. 與正方形有關輔助線的作法
正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多。解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線。
5. 與梯形有關的輔助線的作法
和梯形有關的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：
�。�1）作一腰的平行線構造平行四邊形和特殊三角形
（2）作梯形的高，構造矩形和直角三角形
�。�3）作一對角線的平行線，構造直角三角形和平行四邊形
（4）延長兩腰構成三角形
�。�5）作兩腰的平行線等
03
圓中常見輔助線的添加
1. 遇到弦時（解決有關弦的問題時）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。
作用：
�、� 利用垂徑定理
② 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系
�、� 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股定理求有關量
2. 遇到有直徑時
常常添加（畫）直徑所對的圓周角
作用：利用圓周角的性質得到直角或直角三角形
3. 遇到90度的圓周角時
常常連結兩條弦沒有公共點的另一端點
作用：利用圓周角的性質，可得到直徑
4. 遇到弦時
常常連結圓心和弦的兩個端點，構成等腰三角形，還可連結圓周上一點和弦的兩個端點
作用：
①可得等腰三角形
�、趽䦂A周角的性質可得相等的圓周角
5. 遇到有切線時
常常添加過切點的半徑（連結圓心和切點）
作用：利用切線的性質定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形
常常添加連結圓上一點和切點
作用：可構成弦切角，從而利用弦切角定理。
6. 遇到證明某一直線是圓的切線時
�。�1） 若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。
作用：若OA=r，則l為切線
（2） 若直線過圓上的某一點，則連結這點和圓心（即作半徑）
作用：只需證OA⊥l，則l為切線
�。�3） 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線
7. 遇到兩相交切線時（切線長）
常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點
作用：據切線長及其它性質，可得到
① 角、線段的等量關系
�、� 垂直關系
�、� 全等、相似三角形
8. 遇到三角形的內切圓時
連結內心到各三角形頂點，或過內心作三角形各邊的垂線段
作用：利用內心的性質，可得
�、� 內心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線
② 內心到三角形三條邊的距離相等
9. 遇到三角形的外接圓時
連結外心和各頂點
作用：外心到三角形各頂點的距離相等
10. 遇到兩圓外離時
（解決有關兩圓的外、內公切線的問題）常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線
作用：
①利用切線的性質；
�、诶媒庵苯侨切蔚挠嘘P知識
11. 遇到兩圓相交時
常常作公共弦、兩圓連心線、連結交點和圓心等
作用：
①利用連心線的性質、解直角三角形有關知識
② 利用圓內接四邊形的性質
③ 利用兩圓公共的圓周的性質
�、� 垂徑定理
12. 遇到兩圓相切時
常常作連心線、公切線
作用：
①利用連心線性質
②切線性質等
13. 遇到三個圓兩兩外切時
常常作每兩個圓的連心線
作用：可利用連心線性質
14. 遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時
常常添加輔助圓
作用：以便利用圓的性質
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