二次函數(shù)拋物線的性質(zhì)

　1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x = -b/2a。

　　對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

　　當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

　　3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

　　當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

　　|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

　　4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

　　當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號(hào)

　　當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)

　　可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。

　　事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

　　5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

　　Δ= b^2;-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ= b^2;-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

　　_______

　　Δ= b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）

　　當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b&sup2;/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

　　當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

　　7.特殊值的形式

　　①當(dāng)x=１時(shí) y=a+b+c

　　②當(dāng)x=-1時(shí) y=a-b+c

　　③當(dāng)x=2時(shí) y=4a+2b+c

　　④當(dāng)x=-2時(shí) y=4a-2b+c

　　8.定義域：R

　　值域：（對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無(wú)窮）；②[t，正無(wú)窮）

　　奇偶性：偶函數(shù)

　　周期性：無(wú)

　　解析式：

　　①y=ax^2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a＞0，則拋物線開(kāi)口朝上；a＜0，則拋物線開(kāi)口朝下；

　　⑶極值點(diǎn)：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ＞0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ＝0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ＜0，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；

　　②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式]

　　此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式（雙根式）]（a≠0）

　　對(duì)稱軸X=(X1-X2)/2 當(dāng)a>0 且X≧(X1+X2)/2時(shí)，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a>0且X≦（X1+X2）/2時(shí)Y隨X的增大而減小

　　此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。

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